Nhiều sinh viên học Toán cao hơn trong những năm cuối cấp có lẽ tự hỏi: phương trình vi phân (DE) được ứng dụng vào đâu trong thực tế? Theo quy định, vấn đề này không được thảo luận trong các bài giảng, và giáo viên ngay lập tức chuyển sang giải DE mà không giải thích cho học sinh ứng dụng của phương trình vi phân trong cuộc sống thực. Chúng tôi sẽ cố gắng lấp đầy khoảng trống này.
Hãy bắt đầu bằng cách xác định một phương trình vi phân. Vì vậy, một phương trình vi phân là một phương trình nối giá trị của đạo hàm của một hàm với chính hàm, các giá trị của biến độc lập và một số (tham số).
Lĩnh vực phổ biến nhất mà phương trình vi phân được áp dụng là mô tả toán học của các hiện tượng tự nhiên. Chúng cũng được sử dụng để giải quyết các vấn đề không thể thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa một số giá trị mô tả một quá trình. Những vấn đề như vậy nảy sinh trong sinh học, vật lý, kinh tế.
Trong sinh học:
Mô hình toán học có ý nghĩa đầu tiên mô tả các quần xã sinh vật là mô hình Lotka - Volterra. Nó mô tả một quần thể gồm hai loài tương tác với nhau. Con đầu tiên trong số chúng, được gọi là động vật ăn thịt, khi không có con thứ hai, chết theo quy luật x ′ = –ax (a> 0), và con thứ hai - con mồi - khi không có động vật ăn thịt nhân lên vô hạn theo quy luật của Malthus. Sự tương tác của hai loại này được mô hình hóa như sau. Nạn nhân chết với tỷ lệ bằng với số lần chạm trán của kẻ săn mồi và con mồi, trong mô hình này được giả định là tỷ lệ thuận với kích thước của cả hai quần thể, tức là bằng dxy (d> 0). Do đó, y ′ = by - dxy. Động vật ăn thịt sinh sản với tốc độ tỉ lệ thuận với số con mồi đã ăn: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Hệ phương trình
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = bởi - dxy, (2)
kẻ săn mồi-con mồi mô tả một quần thể như vậy được gọi là hệ thống Lotka-Volterra (hoặc mô hình).
Trong vật lý:
Định luật thứ hai của Newton có thể được viết dưới dạng một phương trình vi phân
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), trong đó m là khối lượng của vật, x là toạ độ của nó, F (x, t) là lực tác dụng lên vật có toạ độ x tại thời điểm t. Lời giải của nó là quỹ đạo của vật thể dưới tác dụng của lực xác định.
Trong kinh tế học:
Mô hình tăng trưởng tự nhiên của sản lượng
Chúng ta sẽ giả định rằng một số sản phẩm được bán với giá cố định P. Gọi Q (t) là số lượng sản phẩm đã bán tại thời điểm t; thì tại thời điểm này thu nhập bằng PQ (t). Để một phần thu nhập cụ thể được chi cho đầu tư vào việc sản xuất các sản phẩm đã bán, tức là
I (t) = mPQ (t), (1)
trong đó m là suất đầu tư - một số không đổi, và 0
